스크래치 팁과 기초 7. 연산블록 추가로 이해하기

연산블록에서의 연산 블록에 대해서 자세히 알아봅니다.

▲스크래치에서 제공하는 기본적인 연산  블록

1. 절대값

절대값은 어떤 수의 절대적인 '크기'를 비교하기 위해 사용하는 블록입니다. 예를들면 -2와 1이라는 두개의 숫자를 볼 때 -2는 1보다는 작은 수입니다. 그러나 절대적인 크기로 볼 때는 -2가 1보다 큽니다.  이렇게 음수와 양수를 논외하고 오로지 '크기'만을 비교할 때는 '절대값'을 사용합니다. 이 절대값의 의미는 일종의 '거리'의 값으로 이해할 수 있습니다.

▲-2와 1을 볼 때 무엇이 더 멀리 떨어져 있나를 생각할 때는 음수는 고려대상이 아니다.

2. 바닥함수와 천장함수

바닥함수와 천장함수는 소수점을 버리고 정수로 만드는 함수입니다. 여기서 바닥함수는 추어진 실수 이하의 최대 정수를 구하며,  천장함수는 주어진 값보다 큰 정수중에 가장 작은 정수를 구합니다.

▲천장함수와 바닥함수의 이해, 소수점을 버린 정수값이 커질지 작아질지 판단한다.

이러한 소수점을 버리는 방식으로는 반올림, 천장함수, 바닥함수가 있습니다.  소수점이 있어 복잡해진 값을 정수로 바꾸는 것이 필요한 경우에 사용됩니다.

3. 제곱근

제곱근은 제곱을 하면 주어진 값이 되는 어떤 값을 나타내기 값을 구합니다.

 

▲제곱근, 제곱, 로그의 관계

사실 제곱근은 제곱의 역수와 같습니다. 따라서 실수의 제곱을 구할 수 있으면 제곱근도 구할 수 있습니다.

▲제곱근과 제곱의 관계

주어진 값을 음수로 사용할 경우 수학적으로는 '허수'가 됩니다. 하지만 스크래치에서는 허수를 따로 정의하지 않기 때문에 없는 수로 반환됩니다. 허수를 사용하기 위해서는 별도의 규칙을 만들어 허수를 구현해야 합니다.

▲허수는 미구현

스크래치에서 제공하는 '제곱근'은 2제곱근입니다. 즉, 3제곱근, 4제곱근… n제곱근을 구하기 위해서는 별도의 수학적인 과정이 필요합니다. 

▲로그식을 사용하여 y^x를 구할 수 있다.

▲프로그램상 구현하기

4) sin, cos, tan

sin, cos, tan은 삼각함수로써,  내각에 따른 삼각형의 2개의 변에 따른 비율값을 반환합니다.

▲삼각함수의 정의

삼각함수는 삼각형의 단순한 비율로 보이지만, 삼각함수의 핵심적인 필요성은 회전과 관련한 것을 다룰 때 필요합니다. 회전과 주기적인 운동에서는 삼각함수가 필수적으로 사용됩니다.

▲좌표상에서 그리면, 삼각함수는 x(=cos@)와 y(=sin@)의 좌표로 나타난다.

또한 3d로의 구현을 사용할 때 삼각함수가 필수적으로 사용됩니다.

▲3d좌표 회전변환은 2d에서 확장한 것과 같다.

5) asin, acos, atan

asin, acos, atan은 역삼각함수입니다. 삼각함수는 주어진 각도에 따라 삼각비를 반환하는데 비해, 역삼각함수들은 비율을 통해 각도값을 반환합니다.  만약 특정각도의 삼각함수 값을 다시 역삼각함수에 넣으면 특정각도 값이 반환됩니다.

▲삼각함수를 역삼각함수에 넣으면 입력값이 나온다.

 삼각함수를 통해 각도를 계산하기 위해서는 atan을 주로 사용합니다.

▲atan을 사용해서 두점 사이의 각도를 구할 수 있다.

스프라이트가주어진 각도를 통해 바라보도록 하기 위해서는 90-각도 값으로 설정해야 합니다.

 

▲스크래치에서는 스프라이트의 방향이 90도 꺾여있으며, 회전방향도 반대이다.

▲따라서 해당 각도를 바라보게 하기 위해서는 '90-각도'값으로 바라보게 한다.

6) log, ln, e^, 10^

log는 밑이 10이 되는 값이며 제곱값을 만족하는 지수를 반환합니다. 

▲제곱과 로그의 관계

로그를 사용하는 경우는 그래프의 x-y값의 차이가 기하급수적으로 커질 때 '로그 스케일'로 볼 때 사용됩니다.

▲주파수 관련 그래프는 '로그스케일'로 본다. x값이 기하급수적으로 커지는 특성상 x축을 로그스케일로 본 그래프

ln은 밑을 자연상수 e를 사용하는 로그값입니다. 또 e^는 e의 거듭제곱을 말합니다. e는 '자연상수'라고 불리우는 특정 고정 값입니다.

▲자연상수 e의 값

자연상수 e의 값은 다음과 같은 정의된 식으로 근사값을 구할 수 있습니다.

▲자연상수의 수학적인 정의

자연상수 e값의 가장 큰 특징은 e의 지수함수를 미분 또는 적분을 해도 자기 자신의 함수가 나옵니다.

▲자연상수의 가장 큰 특징, 수학자들은 이 숫자를 찾기 위해 부단한 노력을 하였다.

e의 지수함수를 미분해도 자기 자신의 함수가 나오는데 미분방정식의 풀이에 가장 중요한 요소로 자리 잡힙니다. 하지만 프로그래밍에서는 물체의 운동을 시뮬레이션을 하기 위해서 미분방정식을 직접 풀기 보다는 그대로 적용하기 때문에 자연상수의 사용이 크게 있지 않습니다. 자연상수가 단지 어떠한 의미를 가지고 있는지 알고 넘어가면 좋을거 같습니다.

▲스프링의 운동방정식, 미분을 2번하면 음의 자신의 함수가 나온다. 미분방정식의 풀이의 핵심은 e의 지수함수가 된다.

또한 '오일러 공식'이라고 불리우는 식을 통해 회전과 관계 있음을 알 수 있습니다.

▲자연상수와 오일러공식과의 관계, 자연상수와 회전과의 관계를 알 수 있다.